Question

已知数列{a_n}是等差数列,公差d≠0，a_n≠0(n∈N^*),a_kx²+2a_k+1x+a_k+2=0(k∈N^*),

(1)求证:当k取不同正整数时,方程都有实数根;

(2)若方程不同的根依次为x₁,x₂,x₃,…x_n,…,求证:,,,…,,…是等差数列.

Answer 1

证明：(1)∵{a_n}是等差数列，公差d≠0,a_n≠0(n∈N^*),

∴2a_k+1=a_k+a_k+2.

代入已知方程得a_kx²+(a_k+a_k+2)x+a_k+2=0,

即(x+1)(a_kx+a_k+2)=0.

方程有解x=-1,故不论k取何正整数时，方程都有公共根-1.

(2)当k取不同正整数时，x_k=-,

∴x_k+1=-+1=-=.

故=-.

则-=(-)-(-)=-=-.

∴数列{}是等差数列.