Question

椭圆

x2

2

+

y

2

=1上的点到直线2x-y=7距离最近的点的坐标为（　　）

• A．（-

  4

  3

  ，

  1

  3

  ）
• B．（

  4

  3

  ，-

  1

  3

  ）
• C．（-

  4

  3

  ，

  17

  3

  ）
• D．（

  4

  3

  ，-

  17

  3

  ）

Answer 1

分析：设与直线2x-y=7平行且与椭圆

x2

2

+

y

2

=1相切的直线l的方程为：2x-y=t，与椭圆的方程联立化为关于x的一元二次方程，令△=0，进而解出点的坐标．

解答：解：设与直线2x-y=7平行且与椭圆

x2

2

+

y

2

=1相切的直线l的方程为：2x-y=t，
联立

2x-y=t x2 2 +y2=1

，化为9x²-8tx+2t²-2=0．（*）
∴△=64t²-36（2t²-2）=0，化为t²=9，解得t=±3．
取t=3，代入（*）可得：9x²-24x+16=0，解得x=

4

3

，∴y=2×

4

3

-3=-

1

3

．
∴椭圆

x2

2

+

y

2

=1上的点到直线2x-y=7距离最近的点的坐标为(

4

3

，-

1

3

)．
故选B．

点评：本题考查了直线与椭圆相切问题转化为方程联立得到△=0、相互平行的直线之间的斜率公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．