【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数存在极大值,且极大值为1,证明:
.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】
【试题分析】(1)当时,
,故函数在
上单调递增.当
或
时,利用导数求得函数的单调区间.(2) 由(Ⅰ)可知若函数
存在极大值,则
,且
,解得
, 由此求得函数的表达式.将所要证明的不等式转化为证
.构造函数
,利用二阶导数求得函数的最小值大于或等于零.
【试题解析】
(Ⅰ)由题意,
当时,
,函数
在
上单调递增;
当时,函数
单调递增,
,故当
时,
,当
时,
,所以函数
在
上单调递减,函数
在
上单调递增;
当时,函数
单调递减,
,故当
时,
,当
时,
,所以函数
在
上单调递增,函数
在
上单调递减.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知若函数存在极大值,则
,且
,解得
, 故此时
,
要证,只须证
,及证
即可,
设,
.
,令
,所以函数
单调递增,
又,
,
故在
上存在唯一零点
,即
.
所以当,
, 当
时,
,所以函数
在
上单调递减,函数
在
上单调递增,
故,
所以只须证即可,
由,得
,
所以,又
,所以只要
即可,
当时,
所以
与
矛盾,
故,得证.
(另证)
当时,
所以
与
矛盾;
当时,
所以
与
矛盾;
当时,
得,故
成立,
得,所以
,即
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某房地产公司新建小区有A、B两种户型住宅,其中A户型住宅每套面积为100平方米,B户型住宅每套面积为80平方米,该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工,表是这24套住宅每平方米的销售价格:(单位:万元平方米):
房号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
A户型 | 2.6 | 2.7 | 2.8 | 2.8 | 2.9 | 3.2 | 2.9 | 3.1 | 3.4 | 3.3 | 3.4 | 3.5 |
B户型 | 3.6 | 3.7 | 3.7 | 3.9 | 3.8 | 3.9 | 4.2 | 4.1 | 4.1 | 4.2 | 4.3 | 4.5 |
(1)根据表格数据,完成下列茎叶图,并分别求出A,B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数;
A户型 | B户型 | |
2. | ||
3. | ||
4. |
(2)该公司决定对上述24套住房通过抽签方式销售,购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号,每位购房者只有一次抽签机会,小明是第一位抽签的员工,经测算其购买能力最多为320万元,抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买,否则,将放弃此次购房资格,为了使其购房成功的概率更大,他应该选择哪一种户型抽签?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数.
①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
②当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.已知函数g(x)=x2与h(x)=2x﹣b是定义在[0,1]上的函数.
(1)试问函数g(x)是否为G函数?并说明理由;
(2)若函数h(x)是G函数,求实数b组成的集合.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为推动文明城市创建,提升城市整体形象,2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》,2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯,帮助他们树立绿色出行的意识,受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工,统计了他们一周内路边停车的时间t(单位:小时),整理得到数据分组及频率分布直方图如下:
(1)从该单位随机选取一名职工,试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率;
(2)求频率分布直方图中a,b的值.
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