Question

【题目】已知函数．

求的单调区间；

Ⅱ证明：其中e是自然对数的底数，．

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间为或，无递增区间；（2）见解析

【解析】

（Ⅰ）定义域是，．令．则

对与0的大小，分类讨论，即可得出的最值，再与0比较大小得出单调性．

（Ⅱ）即，，分和2种情况

研究新构造函数的单调性，即可得出．

Ⅰ根据题意，函数，其定义域为；

其导数，令，则，

分析可得：在上，，为增函数，

在上，，为减函数；则，

则有，即函数在其定义域上为减函数，

则的单调递减区间为或，无递增区间；

Ⅱ证明：即，；

分2种情况：

，时，，

令，则，

令，

则，，，，

故在上单调递增，故，

故在上单调递增，

于是，所以，

所以在上单调递增，

因此，时，，即，

下面证明时的情况：

令，，故在上单调递增，

于是时，，即，，

令，则，故在上单调递增，

故时，，即，．

综上所述：．