Question

【题目】某疾病控制中心为了研究某种病毒的抗体，将这种病毒感染源放人含40个小白鼠的封闭容器中进行感染，未感染病毒的小白鼠说明已经产生了抗体，已知小白鼠对这种病毒产生抗体的概率为.现对40个小白鼠进行抽血化验，为了检验出所有产生该种病毒抗体的小白鼠，设计了下面的检测方案：按（，且是40的约数）个小白鼠平均分组，并将抽到的同组的个小白鼠每个抽取的一半血混合在一起化验，若发现该病毒抗体，则对该组的个小白鼠抽取的另一半血逐一化验，记为某组中含有抗体的小白鼠的个数.

（1）若，求的分布列和数学期望.

（2）为减少化验次数的期望值，试确定的大小.

（参考数据：，，，，）

Answer 1

【答案】（1）分布列见解析，1；（2）4

【解析】

(1)由题意可得，随机变量的分布满足二项分布，所以直接利用二项分布公式即可得的分布列和数学期望；

(2)根据平均分组得到的可能取值，再根据二项分布可得出化验次数的期望值进行比较大小，从而可得出此时的值.

（1）当时，，，.

其分布列为

	0	1	2	3	4	5

.

（2）根据题意，

当时，，对于某组个小白鼠，化验次数的可能取值为1，，

，，∴，

∴40个小白鼠化验总次数的期望为，

，，，，，，

∴按4个小白鼠一组化验可使化验次数的期望值最小.