Question

【题目】求具有下述性质的所有正整数：对任意正整数，.

Answer 1

【答案】所求的为.

【解析】

对正整数，设为正整数的标准分解中素因子2的方幂.则，

其中表示正整数在二进制表示下的数码之和,原命题等价于求所有正整数，使得对任意正整数，有.再证明所有符号条件的为.

对正整数，设为正整数的标准分解中素因子2的方幂.则

， ①

其中，表示正整数在二进制表示下的数码之和.

由

.

进而，由式①知本题等价于求所有正整数，使得对任意正整数，有.

接下来证明：所有符号条件的为.

一方面，因为对任意正整数，有，所以，符合条件.

另一方面，若不为2的方幂，设（，为大于1的奇数）.

下面构造一个正整数，使得.

因为，所以，问题等价于选取的一个倍数，使得.

由，知存在正整数，使得.

事实上，由欧拉定理，知可以取.

设奇数的二进制表示为，其中，，.

取.

则，且.

故

. ②

由于，故正整数的二进制表示中的最高次幂小于.

由此，对任意整数、，数与的二进制表示中没有相同的项.

又，则的二进制表示中均不包含1.

故由式②知

.

因此，上述选取的满足要求.

综上，所求的为.