【题目】某校兴趣小组在如图所示的矩形区域
内举行机器人拦截挑战赛，在
处按
方向释放机器人甲，同时在
处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在
处成功拦截机器人甲，若点在矩形区城内(包含边界)，则挑战成功，否则挑战失败，已知
米，为
中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线远动方式行进.
（1）如图建系，求的轨迹方程；
（2）记与
的夹角为
，
，如何设计
的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使之挑战成功？
（3）若与的夹角为
，足够长，则如何设置机器人乙的释放角度，才能挑战成功？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）先设
（
），由题意得到
，
，
，列出等量关系，化简整理，即可得出结果；
（2）由（1）的结果，得到点
的轨迹是以
为圆心，以
为半径的上半圆在矩形区域
内的部分，进而可得出结果；
（3）根据题意得到，
，根据正弦定理求出
，进而可求出结果.
（1）设（），由题意可得：，，
又机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线远动方式行进，
所以，
即
，整理得：（）；
（2）由（1）知，点的轨迹是以为圆心，以为半径的上半圆在矩形区域内的部分，
所以当时，就能确保无论
的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使之挑战成功；
（3）由题意，在
中，，，
由正弦定理得：
，
所以，因此
，
即应在矩形区域内，按照与
方向夹角为的方向释放机器人乙，才能挑战成功.
培优好卷单元加期末卷系列答案
一线名师权威作业本系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气的含药量
（毫克）与时间
（小时）成正比.药物释放完毕后，与的函数关系式为
（
为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米空气的含药量降到0．25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到进教室？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】定义：如果数列
的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数
使得
仍为一个三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”
．
（1）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若
，
是数列的保三角形函数”，求
的取值范围；
（2）已知数列
的首项为2019，
是数列的前
项和，且满足
，证明是“三角形”数列；
（3）求证：函数
，
是数列1，
，
的“保三角形函数”的充要条件是
，
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知直线
和直线
，射线
的一个法向量为
，点
为坐标原点，
，
，点
、
分别是直线
、
上的动点，直线和之间的距离为2，
于点
，
于点
；
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求
的最大值；
（3）若
，
，求
的最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】现对一块边长8米的正方形场地ABCD进行改造，点E为线段BC的中点，点F在线段CD或AD上（异于A，C），设
（米），
的面积记为
（平方米），其余部分面积记为
（平方米）.
（1）当
（米）时，求
的值；
（2）求函数的最大值；
（3）该场地中部分改造费用为
（万元），其余部分改造费用为
（万元），记总的改造费用为W（万元），求W取最小值时x的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，边长为4的正方形
中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A,C,D），P是圆Q上及其内部的动点，设，
则
的取值范围是_____________.
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