Question

对于每个正整数n，以s(n)表示满足如下条件的最大正整数：对于每个正整数k≤s(n)，n²都可以表示成k个正整数的平方之和．

1．证明：对于每个正整数n≥4，都有s(n)≤n²－14；

2．试找出一个正整数n，使得s(n)＝n²－14；

3．证明：存在无限多个正整数n，使得s(n)＝n²－14．

Answer 1

解析：用反证法证明如下：

假设对某个n≥4，有s(n)≥n²－14，则存在k＝n²－13个正整数a₁，a₂，…，a_k，使得

于是就有

从而

3b＋8c＝13

这表明c＝0或1；但相应的b不为整数，矛盾．

2．每个大于13的正整数m可以表为3b＋8c，其中b、c为非负整数．事实上，若m＝3s＋1，则s≥5，m＝3(s－5)＋2×8．若m＝3s＋2，则s≥4，m＝3(s－2)＋8．

由

即知n²可表为n²－m个平方和，从而n²可表为n²－14，n²－15，…，

对于n＝13，有

n²＝12²＋5²＝12²＋4²＋3²＝8²＋8²＋5²＋4²

由于8²可表为4个4²的和，4²可表为4个2²的和，2²可表为4个1²的和，所以13²＝8²＋8²＋5²＋4²可表为4，7，10，…，43个平方的和，又由于5²＝4²＋3²，13²可表为5，8，11，…，44个平方的和．

由于12²可表为4个6²的和，6²可表为4个3²的和，所以13²＝12²＋4²＋3²可表为3，6，9，…，33个平方的和．

为18＋2×9＝36，18＋2×12＝42个平方的和．再由4²为4个2²的和，13²也可表为39个平方的和．

综上所述，13²可表为1，2，…，44个平方的和．

3．令n＝2^k×13．

因为13²可表为1，2，…，155个平方的和，2²可表为4个平方的和，所以13²×2²可表为1，2，…，155×4个平方的和，13²×2⁴可表为1，2，…，155×4²个平方的和，…，n²＝13²×2^2k可表为1，2，…，155×4^k个平方的和．

s(n)＝n²－14