Question

对于每个正整数n，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴交于A_n，B_n两点，以|A_nB_n|表示A_n，B_n两点间的距离，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₃B₂₀₁₃|的值是（　　）

• A．

  2012

  2013

• B．

  2014

  2013

• C．

  2013

  2014

• D．

  2013

  2012

Answer 1

分析：由于y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1=（nx-1）[（n+1）x-1]，于是|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

，利用累加法即可求和即可．

解答：解：∵y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1=（nx-1）[（n+1）x-1]，
∴由y=0得：x=

1

n

或x=

1

n+1

，
∴A_n（

1

n+1

，0），B_n（

1

n

，0），
∴|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

，
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₃B₂₀₁₃|=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2013

-

1

2014

）
=1-

1

2014

=

2013

2014

．
故选C．

点评：本题考查数列与函数的综合，难点在于明确|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

，考查学生分析问题与转化求解的能力，属于中档题．