Question

对于每个正整数n，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴交于两点A_n、B_n，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|的值为

 

Answer 1

分析：A_n、B_n，是抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴的交点，所以其横坐标为（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，由根与系数的关系可得，xAn+xBn=

2n+1

n2+n

，xAnxBn=

1

n2+n

因为|A_nB_n|=|xAn-xBn|，将其用两根之和与两根之积表示出来，化简即可得出线段|A_nB_n|的表达式．

解答：解：由已知A_n、B_n的横坐标为（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，
由根与系数的关系可得，xAn+xBn=

2n+1

n2+n

，xAnxBn=

1

n2+n

①
因为|A_nB_n|=|xAn-xBn|=

(xAn+xBn)2-4xAnxBn

②
将①中的数据代入②整理得|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

故|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2010

-

1

2011

=

2010

2011

故应填

2010

2011

．

点评：本题主要考查零点与方程根的对应关系及化简计算的能力，变形的技巧，可以之训练答题者观察探究的能力与意识．