Question

6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=a₂=1，{nS_n+（n+2）a_n}为等差数列，则a₂₀₁₇=2017•2^-2014．

Answer 1

分析 a₁=a₂=1，{nS_n+（n+2）a_n}为等差数列，求出首项与第二项可得nS_n+（n+2）a_n=4n．即nS_n+（n+2）a_n=4n．S_n=4-$\frac{n+2}{n}{a}_{n}$，利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a₁=a₂=1，{nS_n+（n+2）a_n}为等差数列，
∴首项为：1×1+3×1=4，第二项为：2×（1+1）+4×1=8，
公差为8-4=4．
∴nS_n+（n+2）a_n=4+4（n-1）=4n．
即nS_n+（n+2）a_n=4n．
∴S_n=4-$\frac{n+2}{n}{a}_{n}$，
n≥2时，S_n-1=4-$\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}$-$\frac{n+2}{n}{a}_{n}$，
化为：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}×\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$．
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等比数列，公比为$\frac{1}{2}$，首项为4．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=4×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^3-n．
∴a_n=n•2^3-n．
则a₂₀₁₇=2017•2^-2014．
故答案为：2017•2^-2014．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．