Question

设k＞1，f（x）=k（x-2）（x∈R），在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f^-1（x）的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点．已 知四边形OAPB的面积是6，则k的值等于

3

．

Answer 1

分析：取y=0，求出直线y=k（x-2）与x轴的交点，根据互为反函数图象之间的关系求得B点的坐标，设出P点的坐标，由四边形OAPB的面积等于3求出P点的坐标，代入直线y=k（x-2）后可求得k的值．

解答：解：如图，因为函数f（x）=k（x-2）（k＞1）的图象与x轴交于点A，
取y=0，得k（x-2）=0，所以x=2，则A（2，0），
又因为互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对称，所以B（0，2），
设P（x₀，y₀），因为四边形OAPB的面积是6，
所以2×

1

2

×2×|y₀|=6，所以y₀=±3，
又直线f（x）=k（x-2）的斜率k＞1，所以直线f（x）=k（x-2）与直线y=x的交点在第一象限，所以y₀=

3

2

，
则P（3，3），把P（3，3）代入y=k（x-2）得：k=3．
故答案为：3．

点评：本题考查了反函数，考查了互为反函数图象之间的关系，考查了数形结合的解题思想，解答此题的关键是明确互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，此题为中低档题．