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设k>1,f(x)=k(x-1)(x∈R).在平面直角坐标系xOy中,函数y=f(x)的图象与x轴交于A点,它的反函数y=f-1(x)的图象与y轴交于B点,并且这两个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3,则k等于( )
A.3
B.
C.
D.
【答案】分析:先根据题意画出图形,由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称,从而两个函数的图象交于P点必在直线y=x上.且A,B两点关于y=x对称,利用四边形OAPB的面积=AB×OP,求得P(3,3)从而求得k值.
解答:解:根据题意画出图形,如图.
由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称,
所以这两个函数的图象交于P点必在直线y=x上.
且A,B两点关于y=x对称,
∴AB⊥OP
∴四边形OAPB的面积=AB×OP=×OP=3,
∴OP=3
∴P(3,3)代入f(x)=k(x-1)得:
k=
故选B.
点评:本题主要考查反函数,反函数是函数知识中重要的一部分内容.对函数的反函数的研究,我们应从函数的角度去理解反函数的概念,从中发现反函数的本质,并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题.
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A、3
B、
3
2
C、
4
3
D、
6
5

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3
3

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B.
C.
D.

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