Question

（本题满分12分）设二次函数，关于的不等式的解集有且只有一个元素.

（1）设数列的前项和求数列的通项公式；

（2）记，求数列中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由.

Answer 1

（1） （2）数列中不存在不同的三项能组成等

比数列

【解析】

试题分析：第（1）问由不等式的解集有且只有一个元素，得到，然后由此求出数列的通项公式，由求通项时注意检验初始项是否满足；第（2）问判断数列中是否存在不同的三项能组成等比数列，基本方法是先假设它们成等比数列，再证明问题是否有解．

试题解析：（1）因为关于的不等式的解集有且只有一个元素，

所以二次函数（）的图象与轴相切，

则，考虑到，所以．

从而，

所以数列的前项和（）．

于是当，时，，

当时，，不适合上式．

所以数列的通项公式为.

（2）．

假设数列中存在三项，，（正整数，，互不相等）成等比数列，则，

即，整理得．

因为，，都是正整数，所以，

于是，即，从而与矛盾．

故数列中不存在不同的三项能组成等比数列．

考点：数列通项公式，等比数列性质．