Question

20．已知a满足方程x+1gx=4，b满足方程x+10^x=4，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（a+b）x+2，x≤0}\\{2，x＞0}\end{array}\right.$，则关于x的方程f（x）=x的解是-2，-1，2．

Answer 1

分析 由题意可判断1gx=4-x有且只有一个解，从而可得a与4-b都是x+1gx=4的解，从而可得a+b=4，从而解得．

解答 解：∵y=x+1gx在其定义域上单调，
∴x+1gx=4有且只有一个解，
即1gx=4-x有且只有一个解，
∵x+10^x=4，
∴10^x=4-x，
∴x=lg（4-x）；
故a与4-b都是x+1gx=4的解，
故a=4-b，故a+b=4；
故函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+2，x≤0}\\{2，x＞0}\end{array}\right.$，
若x²+4x+2=x，解得，x=-1或x=-2；
若x=2，成立；
故答案为：-2，-1，2．

点评 本题考查了分段函数的应用及函数与方程的关系应用，同时考查了分类讨论的思想应用．