Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，AC=4，∠BAC=90°，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面B₁DC；
（Ⅱ）求二面角B₁-DC-B的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁C₁上是否存在点E，使得CE与DB₁成60°角？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A₁（0，0，2），
B₁（2，0，2），C₁（0，4，2），D（1，0，10），…（2分）
则

DB1

=（1，0，2），

CD

=（1，-4，0）
设平面B₁DC的法向量为

n1

=（x，y，z），则

n1 • DB1 =0 n1 • CD =0

，即

x+2z=0 x-4y=0

取y=1，得

n1

=（4，1，-2），…（3分）
∵

AC1

=（0，4，2），
∴

n1

•

AC1

=0，
∴

n1

⊥

AC1

，
∴AC₁∥平面B₁DC；．…（4分）
（Ⅱ）设平面BDC的法向量

n2

=（0，0，1），二面角B₁-DC-B的大小为θ，
则cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

2

21 ×1

=

2 21

21

，
所以二面角B₁-DC-B的余弦值为

2 21

21

．…（8分）
（Ⅲ）假设线段A₁C₁上存在点E（0，y，2），（0＜y＜4），则

CE

=（0，y-4，2），…（9分）
∵|cos＜

CE

，

DB1

＞|=|

CE • DB1

| CE || DB1 |

|，…（10分）
∴cos60°=

4

(y-4)2+4 × 5

，
整理得5y²-40y+36=0，∴y=4±

2 55

5

∵0＜y＜4，∴y=4-

2 55

5

，…（12分）
∴

CE

=（0，-

2 55

5

，2），
∴|

CE

|=

(- 2 55 5 )2+22

=

8 5

5

．…（13分）