Question

7．若函数g（x），h（x）都是奇函数，f（x）=ag（x）+bh（x）+2（a，b∈R，a²+b²≠0）在（0，+∞）上有最大值6，则定义在（-∞，0）上的函数f（x）的最小值为-2．

Answer 1

分析 可设k（x）=f（x）-2=ag（x）+bh（x），函数g（x），h（x）都是奇函数，可得k（x）为奇函数，由f（x）在（0，+∞）上有最大值6，可得k（x）在（0，+∞）上有最大值4，即有k（x）在（-∞，0）上有最小值-4，进而得到所求最小值．

解答 解：f（x）=ag（x）+bh（x）+2，
可设k（x）=f（x）-2=ag（x）+bh（x），
由函数g（x），h（x）都是奇函数，
即g（-x）=-g（x），h（-x）=-h（x），
可得k（-x）=ag（-x）+bh（-x）
=-ag（x）-bh（x）=-k（x），
即k（x）为奇函数，
由f（x）在（0，+∞）上有最大值6，
可得k（x）在（0，+∞）上有最大值4，
则k（x）在（-∞，0）上有最小值-4，
即有f（x）在（-∞，0）上最小值为-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查函数的最值的求法，属于中档题．