Question

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x²+y²+z²=3，则xyz的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：由条件可得xy+yz+xz=-1，利用x+y+z=1，可得xyz=z³-z²-z，利用导数的方法，可求xyz的最大值．
解答：解：∵x+y+z=1①，x²+y²+z²=3②
∴①²-②可得：xy+yz+xz=-1
∴xy+z（x+y）=-1
∵x+y+z=1，
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z²-z-1
∵x²+y²=3-z²≥2xy=2（z²-z-1）⇒3z²-2z-5≤0⇒-1≤z≤
令f（z）=xyz=z³-z²-z，则f′（z）=3z²-2z-1=（z-1）（3z+1）
令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜，
∴f（z）在区间[-1，-]单调递增，在[-，1]单调递减，在[1，]单调递增，
当z=-时，xyz的值为，当z=时，xyz的值为，
∴xyz的最大值为．
故答案为：．
点评：本题考查最值问题，考查导数知识的运用，解题的关键是正确转化，从而利用导数进行求解．