Question

设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，已知点A（1，）
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点A（1，），过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出双曲线的标准方程，利用双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，求出几何量，即可求双曲线的标准方程；
（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线L方程．
解答：解：（1）设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），则
∵双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，
∴，c=2
∵c²=a²+b²
∴a=1，b=
∴双曲线的标准方程为；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入双曲线方程可得，
两式相减，结合点A（1，）为线段MN的中点，可得
∴=
∴直线L方程为，即4x-6y-1=0．
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．