Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1，其中（n≥2，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=4n+(-1)n-1λ•2an(λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

分析：（1）本题由条件S_n+1+S_n-1=2S_n+1，借助项与和关系S_n-S_n-1=a_n，可确定数列为等差数列，进而求出数列{a_n}的通项公式a_n=n+1．
（2）由a_n通项写出b_n的通项，欲证明数列为递增数列，可借助作差法证明b_n+1-b_n＞0即可，进行整理变形即转化为对（-1）^n-1λ＜2^n-1（n∈N^*）恒成立的证明．借此讨论N的奇数偶数两种情况就可求出λ的范围，再综合λ为非零的整数即可确定λ的具体取值．

解答：解：（1）由已知，（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），
即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N^*），且a₂-a₁=1．
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列．
∴a_n=n+1．
（2）∵a_n=n+1，
∴b_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，要使b_n+1＞b_n恒成立，
∴b_n+1-b_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，
当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，
∴λ＜1．
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，
当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2．
即-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．
综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．

点评：本题主要考查了数列的通项公式的求法，并借助数列增减性的证明方法求通项中参变量的范围，其中在证明（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立这一过程属于难点．学生不易将n分为奇数和偶数进行分情况讨论后取其交集，易出现思路不清．