Question

已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB．
（1）求角C的大小．
（2）求cos²A+cos²B的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理以及余弦定理求出角C的余弦函数值，然后求出C的大小．
（2）利用三角形的内角和，通过两角和与差的三角函数化简所求表达式，结合角的范围，利用正弦函数的值域即可求cos²A+cos²B的取值范围．

解答： 解：（1）由正弦定理可知（a-c）（a+c）=（a-b）b              …（2分）
即a²+b²-c²=ab．
由余弦定理得 cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

              …（4分）
所以 C=

π

3

                                          …（5分）
（2）∵A+B=

2π

3

，故B=

2π

3

-A，
所以cos²A+cos²B=1+

1

2

cos2A+

1

2

cos（

4π

3

-2A）
=1-

3

4

sin2A+

1

4

cos2A=1+

1

2

sin(2A+

5π

6

)             …（8分）
因△ABC为锐角三角形，所以 

π

6

＜A＜

π

2

∴

7π

6

＜2A+

5π

6

＜

11π

6

                              …（10分）
∴-

1

2

≤

1

2

sin(2A+

5π

6

)＜-

1

4

∴cos²A+cos²B的取值范围：[

1

2

，

3

4

）．…（12分）

点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．