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设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,-π<φ<π)在x=
π
6
处取得最大值2,其图象与x轴的相邻两个交点的距离为
π
2

( I)求f(x)的解析式; 
( II)求函数g(x)=f(-x)的单调递减区间.
分析:(I)先确定函数的周期,可得ω的值,利用函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,-π<φ<π)在x=
π
6
处取得最大值2,即可求得f(x)的解析式;
(II)函数g(x)=f(-x)=2sin(-2x+
π
6
),利用正弦函数的单调增区间,可得函数的单调递减区间.
解答:解:(I)由题意,T=π,∴
ω
,∴ω=2
∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,-π<φ<π)在x=
π
6
处取得最大值2,
∴A=2,sin(2×
π
6
+φ)=1,∴φ=
π
6

∴f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+
π
6
);
(II)函数g(x)=f(-x)=2sin(-2x+
π
6
);
令-
π
2
+2kπ
≤-2x+
π
6
π
2
+2kπ
(k∈Z)
-
π
6
-kπ≤x≤
π
3
-kπ
(k∈Z)
∴函数的单调递减区间为[-
π
6
-kπ,
π
3
-kπ]
(k∈Z)
点评:本题考查函数的解析式,考查函数的单调性,正确求函数的解析式是关键.
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)的定义域为R,当x<0时f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y).数列{an}满足f(an+1)=
1f(-2-an)
(n∈N*
(Ⅰ)求f(0)的值,判断并证明函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)如果存在t、s∈N*,s≠t,使得点(t,as)、(s,at)都在直线y=kx-1上,试判断是否存在自然数M,当n>M时,a n>f(0)恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由.

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1
f(-2-an)
(n∈N*)

(Ⅰ)求f(0)的值,判断并证明函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)如果存在t、s∈N*,s≠t,使得点(t,as)、(s,at)都在直线y=kx-1上,试判断是否存在自然数M,当n>M时,an>0恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)若a1=f(0),不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
12
35
(1+logf(1)x)
对不小于2的正整数恒成立,求x的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
3x-1
x+1

(1)已知s=-t+
1
2
(t>1),求证:f(
t-1
t
)=
s+1
s

(2)证明:存在函数t=φ(s)=as+b(s>0),满足f(
s+1
s
)=
t-1
t

(3)设x1=
11
17
,xn+1=f(xn),n=1,2,….问:数列{
1
xn-1
}是否为等差数列?若是,求出数列{xn}中最大项的值;若不是,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省惠州一中高二(上)期中数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

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(Ⅰ)求f(0)的值,判断并证明函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)如果存在t、s∈N*,s≠t,使得点(t,as)、(s,at)都在直线y=kx-1上,试判断是否存在自然数M,当n>M时,a n>f(0)恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由.

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(Ⅰ)求f(0)的值,判断并证明函数f(x)的单调性;
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