Question

双曲线=1的两个焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，若|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差数列，且|OP|=5，则b²=________．

Answer 1

3
分析：通过等差数列、双曲线的定义及余弦定理推出2|OP|²=8+6c²．利用|OP|=5，求出b的值．
解答：由题意，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等差数列可知，2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，
即4c=|PF₁|+|PF₂|，
由双曲线的定义可知|PF₁|-|PF₂|=4，即|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=16，
可得|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=8…①
设∠POF₁=θ，则∠POF₂=π-θ，
由余弦定理可得：|PF₂|²=c²+|OP|²-2|OF₂||OP|cos（π-θ），|PF₁|²=c²+|OP|²-2|OF₁||OP|cosθ，
|PF₂|²+PF₁|²=2c²+2|OP|²，…②，
由①②化简得：2|OP|²=8+6c²．而8+6c²=32+6b²
因为|OP|=5，所以32+6b²=50．
所以b²=3．
故答案为：3．
点评：本题考查双曲线的定义，余弦定理以及等比数列的应用，是有难度的综合问题，考查分析问题解决问题的能力．