Question

设f(x)=ax3+

3

2

(2a-1)x2-6x．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程；
（2）当a=

1

3

时，求f（x）的极大值和极小值．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，先对函数求导，然后可求切线斜率k=f′(-1)=-6，f(-1)=

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2

，可求切线方程
（2）当a=

1

3

时，对函数求导，结合导数研究函数的单调性，进而可求函数的极大与极小值

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=x3+

3

2

x2-6x，f′(x)=3x2+3x-6
切线斜率k=f′(-1)=-6，f(-1)=

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2

∴切点为（-1，

13

2

）
∴切线为y-

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2

=(-6)[x-(-1)] 即 12x+2y-1=0
（2）当a=

1

3

时，f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-6x，f′(x)=x2-x-6=(x-3)(x+2)
x＜-2时，f′（x）＞0；-2＜x＜3时，f′（x）＜0；x＞3时，f′（x）＞0
∴x=-2时，f（x）的极大值为8，x=3时，f（x）的极小值为-

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2

点评：本题主要考查了导数的基本应用：求解切线方程，求解函数的单调性，求解函数的极大与极小值