Question

已知数列a_n，点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在一次函数y=2x+m的图象上，数列b_n满足条件b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*，b₁≠0）．
（I）求证：数列b_n是等比数列；
（II）设数列a_n，b_n的前n项和分别为S_n、T_n且S₆=T₄，S₅=-9，求实数m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵P（a_n，a_n+1）在一次函数y=2x+m的图象上∴a_n+1=2a_n+m
∴a_n+1+m=2（a_n+m）又b_n=a_n+1-a_n=2（a_n+m）-a_n=a_n+m
∴b_n+1=a_n+1+m=2（a_n+m）=2b_n，且b₁=a₁+m≠0
∴数列b_n是以a₁+m为首项，公比为2的等比数列（6分）
（Ⅱ）∵S₆=T₄b_n=a_n+m
∴a₁+a₂+…+a₅+a₆=a₁+a₂+a₃+a₄+4m
∴a₅+a₆=4m（7分）
由（Ⅰ）知b_n=（a₁+m）×2^n-1即a_n+m=（a₁+m）•2^n-1则a_n=（a₁+m）•2^n-1-m
∴（a₁+m）×2⁴-m+（a₁+m）×2⁵-m=4m
∴（10分）
∵S₅=-9a_n+m是以2为公比的等比数列∴
解得：m=8（12分）
分析：（Ⅰ）由题设知a_n+1=2a_n+m，所以a_n+1+m=2（a_n+m），又b_n=a_n+1-a_n=2（a_n+m）-a_n=a_n+m，b_n+1=a_n+1+m=2（a_n+m）=2b_n，且b₁=a₁+m≠0，由此证明数列b_n是以a₁+m为首项，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由S₆=T₄b_n=a_n+m，知a₁+a₂+…+a₅+a₆=a₁+a₂+a₃+a₄+4m，a₅+a₆=4m．由（Ⅰ）知b_n=（a₁+m）×2^n-1，则a_n=（a₁+m）•2^n-1-m，由此可求出实数m的值．
点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要注意公式的合理运用．