Question

13．已知F₁，F₂分别是双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦点，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，PF₁与以F₂为圆心，|OF₂|为半径的圆相切于点Q，且Q恰好是PF₁的中点，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• B． $\sqrt{3}+1$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}-1$

Answer 1

分析 由题意可得PF₁⊥QF₂，又Q为PF₁的中点，即有△PF₁F₂为等腰三角形，PF₂=F₁F₂=2c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求．

解答 解：由PF₁与以F₂为圆心，|OF₂|为半径的圆相切于点Q，
可得PF₁⊥QF₂，又Q为PF₁的中点，
即有△PF₁F₂为等腰三角形，PF₂=F₁F₂=2c，
由QF₂=c，可得PF₁=2$\sqrt{3}$c，
由双曲线的定义可得PF₁-PF₂=2a，
即为2$\sqrt{3}$c-2c=2a，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题．