Question

已知{a_n}是等差数列，其中a₁=25，前四项和S₄=82．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令bn=

an

2n

，①求数列{b_n}的前n项之和T_n．②

1

4

是不是数列{b_n}中的项，如果是，求出它是第几项；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由等差数列的求和公式及已知a₁可求公差d，进而可求通项公式
（2））①由（1）可得，bn=

an

2n

=

28-3n

2n

，结合该数列的特点考虑利用错位相减求和
②令

28-3n

2n

=

1

4

，可得2^n-2+3n-28=0．构造函数f（x）=2^x-2+3x-28，结合函数f（x）在R上单调性及零点存在定理判断函数的零点是否存在正整数

解答：解：（1）由等差数列的前n项和公式可得，S4=4a1+

4×3

2

d=82，a₁=25
∴d=-3∴a_n=28-3n（3分）
（2）①由（1）可得，bn=

an

2n

=

28-3n

2n

∴Tn=

25

2

+

22

22

+

19

23

+…+

28-3n

2n

（1分）

1

2

Tn=

25

22

+

22

23

+

19

24

+…+

28-3n

2n+1

相减得Tn=22+

3n-22

2n

（3分）
②令

28-3n

2n

=

1

4

，解得2^n-2+3n-28=0．
令f（x）=2^x-2+3x-28，明显f（x）在R上单调递增．
f（5）=-5＜0，f（6）=6＞0，所以f（x）有唯一零点x₀∈（5，6），不是整数．
所以

1

4

不是数列{b_n}中的项．                       （3分）

点评：本题综合考查了等差数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用一直是数列求和中的考查热点之一，而零点存在定理的应用更是加强的数列与函数的综合应用．