Question

5．已知函数f（x）=-x³+ax²-x-2在（-∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
• C． （-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）
• D． [-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 先求函数的导数，因为函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，所以在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范围即可．

解答 解：f（x）=-x³+ax²-x-2的导数为f′（x）=-3x²+2ax-1，
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，∴在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即-3x²+2ax-1≤0恒成立，∴△=4a²-12≤0，解得-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$，
∴实数a的取值范围是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
故选：D．

点评 本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，属于导数的应用．