Question

如图在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E是DD₁的中点，
（1）求证：BD₁∥平面ACE
（2）求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，由已知得OE∥BD₁，由此能证明BD₁∥平面ACE．
（2）由已知得DE⊥平面ACD，且DE=1，S△ACD=

1

2

×2×2=2，由此能求出三棱锥E-ACD的体积．

解答： （1）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵ABCD是正方体，∴O是BD中点，
∵E是DD₁的中点，∴OE∥BD₁，
∵BD₁不包含于平面ACE，OE?平面ACE，
∴BD₁∥平面ACE．
（2）解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E是DD₁的中点，
∴DE⊥平面ACD，且DE=1，S△ACD=

1

2

×2×2=2，
∴三棱锥E-ACD的体积：
V=

1

3

S△ACD•DE=

1

3

×2×1=

2

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．