Question

13．已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的圆心在射线$θ=\frac{π}{4}$上，且与直线$ρ=-\frac{1}{sinθ}$相切于点$（\sqrt{2}，\frac{7π}{4}）$．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若$α∈[0，\frac{π}{4}）$，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t为参数），直线l交圆C于A，B两点，求弦长|AB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出圆C的直角坐标方程，即可求圆C的极坐标方程；
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα，\;\;\\ y=2+tsinα，\;\;\end{array}\right.$（t为参数）代入圆C的直角坐标方程（x-1）²+（y-1）²=4，利用韦达定理、参数的意义，即可求弦长|AB|的取值范围．

解答 解：（1）∵点$（{\sqrt{2}，\;\;\frac{7π}{4}}）$的直角坐标为（1，-1），射线的方程为y=x（x＞0），
所以圆心坐标为（1，1），半径r=2，
∴圆C的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=4．
化为极坐标方程是ρ²-2ρ（cosθ+sinθ）-2=0．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα，\;\;\\ y=2+tsinα，\;\;\end{array}\right.$（t为参数）代入圆C的直角坐标方程（x-1）²+（y-1）²=4．
得（1+tcosα）²+（1+tsinα）²=4，
即t²+2t（cosα+sinα）-2=0．
∴t₁+t₂=-2（cosα+sinα），t₁•t₂=-2．
∴$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=2\sqrt{3+sin2α}$．
∵$α∈[{0，\;\;\frac{π}{4}}）$，∴$2α∈[{0，\;\;\frac{π}{2}}）$，
∴$2\sqrt{3}≤|AB|＜4$．
即弦长|AB|的取值范围是$[2\sqrt{3}，\;\;4）$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．