Question

若不等式[（1-x）t-x]lgx＜0对任意正整数t恒成立，则实数x的取值范围是

1. A.
   {x|x＞1}
2. B.
   {x|0＜x＜}
3. C.
   {x|0＜x＜或x＞1}
4. D.
   {x|0＜x＜或x＞1}

Answer 1

C
分析：因为有因式lgx，所以须对x分x＞1，0＜x＜1和x=1三种情况讨论，在每一种情况下求出对应的x的范围，最后综合即可．
解答：由题知x＞0，所以当x＞1时，lgx＞0，
不等式[（1-x）n-x]lgx＜0转化为（1-x）n-x＜0?a＞=1-对任意正整数n恒成立?x＞1．
当0＜x＜1时，lgx＜0，
不等式[（1-x）n-x]lgx＜0转化为（1-x）n-x＞0?x＜=1-对任意正整数n恒成立?x＜，
∵0＜x＜1，∴0＜x＜．
当x=1时，lgx=0，不等式不成立舍去
综上，实数x的取值范围是 x＞1或0＜x＜
故选C．
点评：本题考查了函数的恒成立问题以及分类讨论思想的应用．分类讨论目的是，分解问题难度，化整为零，各个击破．