Question

（本小题满分14分）

已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2) 满足条件的点有两个

【解析】

试题分析：(1) 解法1：设椭圆的方程为,

依题意:    解得:   

∴ 椭圆的方程为.

解法2：设椭圆的方程为，

根据椭圆的定义得，即， 

∵，  ∴.  

∴ 椭圆的方程为.

(2)解法1：设点,，则，

，

∵三点共线,

∴.  

∴,                  

化简得：. ① 

由,即得. 

∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ②

同理，抛物线在点处的切线的方程为 .    ③        

设点，由②③得：，

而，则 .

代入②得 ，   

则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为.

若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件 的点有两个.

解法2：设点,，，

由,即得. 

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即. 

∵， ∴ .

∵点在切线上,  ∴.       ①  

同理， . ②    

综合①、②得，点的坐标都满足方程.

∵经过的直线是唯一的，

∴直线的方程为，  

∵点在直线上，     ∴. 

∴点的轨迹方程为.  

若 ，则点在椭圆上，又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件 的点有两个.

解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

由消去，得.

设,则. 

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，即.

∵， ∴.                                

同理,得抛物线在点处的切线的方程为.

由解得                    

∴. 

∵,

∴点在椭圆上.

∴.

化简得.(*)

由,

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个.

考点：椭圆抛物线方程及性质，直线与椭圆抛物线相交的应用

点评：求椭圆方程采用了待定系数法与定义法，其中待定系数法是常用的方法，而利用定义求解能使一些题目的计算量较小很多；第二问在直线与圆锥曲线相交的背景下常联立方程，利用韦达定理求解