Question

已知数列{x_n}是公差不为0的等差数列，{y_n}是等比数列，其中x₁=1，且x₁=y₁，x₂=y₂，x₆=y₃，是否存在常实数a和b，使得对于一切n∈N^*，都有x_n=log_ay_n+b？若存在，求出a和b的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：利用条件求出等差数列的公差和等比数列的公比，然后由x_n=log_ay_n+b，能否求出a，b的值．

解答：解：设公差为d，公比为q．
则由题意得

1+d=q 1+5d=q2

，即d²=3d，因为差不为0，所以d=3，q=4．
所以x_n=1+3（n-1）=3n-2，yn=4n-1，
假设存在常实数a和b，使得对于一切n∈N^*，都有x_n=log_ay_n+b，
则3n-2=loga4n-1+b=(n-1)loga4+b=nlog_a4+b-log_a4，
所以必有

loga4=3 -2=b-loga4

，解得b=1，a=

3	4

，
所以存在实数a和b，使得对于一切n∈N^*，都有x_n=log_ay_n+b．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的基本运算和性质，要求熟练掌握