Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）；当x，y∈（-1，0）时，有f（x）＞0；若P=f（

1

5

）+f（

1

11

）+…+f（

1

r2+r-1

）+…+f（

1

20122+2012-1

），Q=f（

1

2

），R=f（0）．则P，Q，R的大小关系为（　　）

A．R＞Q＞P

B．P＞R＞Q

C．R＞P＞Q

D．不能确定

Answer 1

分析：在已知函数中令y=x=0可得f（0）=0，令x=0可得f（-y）=-f（y）可得函数f（x）是奇函数，由x∈（-1，0）时，f （x）＞0可知f（x）是单调减函数，结合函数的这些性质及已知函数的关系可比较P，Q，R的大小．

解答：解：∵定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），
令y=x=0可得f（0）-f（0）=f（0），
∴f（0）=0
令x=0可得f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y），
∴f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数，
设-1＜x₁＜x₂＜0
则-1＜x₁-x₂＜0，0＜1-x₁x₂＜1
∴-1＜

x1-x2

1-x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-1，0）上是单调减函数，
根据奇函数在对称区间上的单调性相反可知，函数f（x）在（0，1）上单调递减，
∴函数f（x）在（-1，1）上单调递减，
∵f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），
P=f（

1

5

）+f（

1

11

）+…+f（

1

r2+r-1

）+…+f（

1

20122+2012-1

）=[f（

1

2

）-f（

1

3

）]+[f（

1

3

）-f（

1

4

）]+[f（

1

4

）-f（

1

5

）]+…+[f（

1

2012

）-f（

1

2013

）]
=f（

1

2

）-f（

1

2013

）=f（

2011

4025

），
∵

1

2

＞

2011

4025

＞0，
∴f（

1

2

）＜f（

2011

4025

）＜f（0），
∴R＞P＞Q，
故选C．

点评：本题综合考查了函数的抽象函数的单调性、奇偶性及利用赋值法比较函数值的大小，属于函数知识的综合应用．本题的关键在于如何利用恒等式将P的表达式转化为一个函数值的形式，运用了数列求和中“裂项相消”的思想方法．有一定的难度．属于难题．