Question

如图，两个工厂A、B相距2km，点O为AB的中点，要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB⊥AB.据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数为1；办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数为4，办公楼与A、B两厂的“总噪音影响度”y是A、B两厂“噪音影响度”的和，设AP为xkm.
 
(1)求“总噪音影响度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域；
(2)当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？

Answer 1

（1）y＝(≤x≤)（2）AP＝km

(1)(解法1)如图，连结OP，

设∠AOP＝α，则≤α≤.
在△AOP中，由余弦定理得x²＝1²＋2²－2×1×2cosα＝5－4cosα，
在△BOP中，由余弦定理得BP²＝1²＋2²－2×1×2cos(π－α)＝5＋4cosα，
∴BP²＝10－x²，∴y＝.
∵≤α≤，∴≤x≤，∴y＝(≤x≤)．

(解法2)建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设P(m，n)，则PA²＝(m＋1)²＋n²，PB²＝(m－1)²＋n².
∵m²＋n²＝4，PA＝x，
∴PB²＝10－x²(后面解法过程同解法1)．
(2)(解法1)y＝＝[x²＋(10－x²)]
＝(5＋)≥(5＋2)＝，
当且仅当，即x＝∈[，]时取等号．
故当AP＝km时，“总噪音影响度”最小．
(解法2)由y＝，得
y′＝－.
∵≤x≤，∴令y′＝0，得x＝，且当x∈时，y′<0；当x∈(，]时，y′>0.∴x＝时，y＝取极小值，也即最小值．故当AP＝km时，“总噪音影响度”最小