Question

已知椭圆的短轴长为4，F₁，F₂分别是椭圆C的左，右焦点，直线y=x与椭圆C在第一象限内的交点为A，△AF₁F₂的面积为，点P（x，y）是椭圆C上的动点
（1）求椭圆C的方程
（2）若∠F₁PF₂为钝角，求点P的横坐标x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先确定b的值，再利用△AF₁F₂的面积为，及a²=b²+c²，可确定椭圆C的方程；
（2）若∠F₁PF₂为钝角，则，由此可求点P的横坐标x的取值范围．
解答：解：（1）∵2b=4，∴b=2，①
由题意，设A（x，x）（x＞0），则，②
∵△AF₁F₂的面积为，∴，③
由①，②，③及a²=b²+c²，解得a=，
∴椭圆C的方程：
（2）∠F₁PF₂为锐角，则
，
∵，
，
∴
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．