Question

（Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知某点P（x₀，y₀），直线l：Ax+By+C=0．求证：点P到直线l的距离d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

．
（Ⅱ）已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，点P（2，0），O为坐标原点，过P的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若向量

AB

| AB |

在向量

OF

上的投影为n，且(

OA

•

OB

)n2=-2，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分类讨论，利用构造直角三角形的方法，可以证明结论成立；
（Ⅱ）当直线l⊥x轴时，与已知矛盾，设直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，借助于(

OA

•

OB

)n2=-2，可得直线的斜率，从而可得直线l的方程．

解答：（Ⅰ）证明：当A=0，B≠0时，直线l：y=-

C

B

，点P到直线l的距离d=|

C

B

+y₀|；
当A≠0，B=0时，直线l：x=-

C

A

，点P到直线l的距离d=|

C

A

+x₀|
当AB≠0时，如图，则R（-

B

A

y0-

C

A

，y₀），S（x0，-

A

B

x0-

C

B

）
∴PR=|

Ax0+By0+C

A

|，PS=|

Ax0+By0+C

B

|
PQ是直角△PRS斜边上的高，由三角形面积公式可得PQ=

PR•PS

RS

=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

综上知，点P到直线l的距离d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

．
（Ⅱ）解：当直线l⊥x轴时，与已知矛盾；
故可设直线方程：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴

y=k(x-2) y2=4x

，∴ky²-4y-8k=0
∴y1y2=-8，y1+y2=

4

k

．
代入抛物线方程可得：x1x2=

(y1y2)2

16

=4，x1+x2=

y12+y22

4

∵(

OA

•

OB

)n2=-2，∴cos²θ（x₁x₂+y₁y₂）=-2
∴

cos2θ

sin2θ+cos2θ

×(-4)=

1

1+tan2θ

×(-4)=-2，
解得tanθ=k=±1
∴l：x±y-2=0

点评：本题考查点到直线距离的证明，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．