Question

定义：如果数列{a_n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a_n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a_n}，如果函数y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a_n}的“保三角形函数”，（n∈N^*）．
（Ⅰ）已知数列{c_n}的首项为2010，S_n是数列{c_n}的前n项和，且满足4S_n+1-3S_n=8040，证明{c_n}是“三角形”数列；
（Ⅱ）已知{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=k^x，（k＞1）是数列{a_n}的“保三角形函数”，求k的取值范围．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）先利用条件求出数列{c_n}的通项公式，再证明其满足“三角形”数列的定义即可；
（Ⅱ）先由条件得{a_n}是三角形数列，再利用f（x）=k^x，（k＞1）是数列{a_n}的“保三角形函数”，得到kⁿ+kⁿ⁺¹＞kⁿ⁺²，解得k的取值范围．

解答： 证明：（Ⅰ）由4S_n+1-3S_n=8040得4S_n-3S_n-1=8040，两式相减得4c_n+1-3c_n=0
所以，c_n=2010•(

3

4

)n-1，
经检验，此通项公式满足4S_n+1-3S_n=8040 （7分）
显然c_n＞c_n+1＞c_n+2，因为c_n+1+c_n+2=2010•(

3

4

)n+2010(

3

4

)n+1=2010•(

3

4

)n-1＞c_n，
所以{c_n}是“三角形”数列；
（Ⅱ）显然a_n=n+1，a_n+a_n+1＞a_n+2对任意正整数都成立，
即{a_n}是三角形数列．（2分）
因为k＞1，显然有f（a_n）＜f（a_n+1）＜f（a_n+2），
由f（a_n）+f（a_n+1）＞f（a_n+2）得kⁿ+kⁿ⁺¹＞kⁿ⁺²，解得k＜

1+ 5

2

．
所以当k∈（1，

1+ 5

2

）时，f（x）=k^x是数列{a_n}的“保三角形函数”．

点评：本题是在新定义下对数列的综合考查．关于新定义的题型，在作题过程中一定要理解定义，并会用定义来解题．