Question

已知向量

m

=(cos θ，sin θ)和

n

=(

2

-sin θ，cos θ)，θ∈（π，2π），且|

m

+

n

|=

8 2

5

，求cos(

θ

2

+

π

8

)的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,向量的模,同角三角函数基本关系的运用

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：由题意可得

m

+

n

的坐标，由模长可得

2

（cosθ-sinθ）=

14

25

，由三角函数公式可得cos（θ+

π

4

）=

7

25

，结合角的范围可得cos(

θ

2

+

π

8

)＜0，由二倍角公式可得2cos2(

θ

2

+

π

8

)-1=

7

25

，解方程可得．

解答： 解：∵

m

=(cos θ，sin θ)，

n

=(

2

-sin θ，cos θ)，
∴

m

+

n

=（

2

+cosθ-sinθ，sinθ+cosθ）
∵|

m

+

n

|=

8 2

5

，∴|

m

+

n

|2=

128

25

，
∴（

2

+cosθ-sinθ）²+（sinθ+cosθ）²=

128

25

，
可得2+2

2

（cosθ-sinθ）+（cosθ-sinθ）²+（sinθ+cosθ）²=

128

25

，
展开化简可得

2

（cosθ-sinθ）=

14

25

，
即2cos（θ+

π

4

）=

14

25

，
解得cos（θ+

π

4

）=

7

25

，
∵θ∈（π，2π），∴

θ

2

+

π

8

∈（

5π

8

，

9π

8

）∴cos(

θ

2

+

π

8

)＜0
由二倍角公式可得cos（θ+

π

4

）=2cos2(

θ

2

+

π

8

)-1=

7

25

，
解得cos(

θ

2

+

π

8

)=-

4

5

点评：本题考查三角函数的公式，涉及同角三角函数的基本关系以及向量的模长公式，属中档题．