Question

【题目】已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F，F，左右顶点分别为A，B，且|F1F2|=4，|AB|=4
（1）求椭圆的方程；
（2）过F1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若△MF2N的面积为 ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，

左右焦点分别为F，F，左右顶点分别为A，B，且|F1F2|=4，|AB|=4 ，

∴ ，解得a=2 ，c=2，b=2，

∴椭圆的方程为

（2）解：由（1）知F1（﹣2，0），设过F1的直线l的方程为：x+2=my，

由 ，得（m2+2）y2﹣4my﹣4=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则 ，

∵△MF2N的面积为 ，

∴ = =2 = ，

化简，得2m4﹣m2﹣1=0，解得m2=1或m2=﹣ （舍），

解得m=±1，此时直线l的方程为x﹣y+2=0，或x+y+2=0

【解析】（1）由|F1F2|=4，|AB|=4 ，建立方程组，求出a=2 ，c=2，b=2，由此能求出椭圆的方程．（2）由F1（﹣2，0），设过F1的直线l的方程为：x+2=my，由 ，得（m2+2）y2﹣4my﹣4=0，利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式，能求出m=±1，由此能求出直线l的方程．