Question

()（本小题满分13分）

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆在第一象限相切于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求直线的方程以及点的坐标；

（Ⅲ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）切点坐标为（Ⅲ）存在直线满足条件，其方程为．

解析:

（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意得

解得，，故椭圆的方程为． ……………………4分

（Ⅱ）因为过点的直线与椭圆在第一象限相切，所以的斜率存在，故可设直线的方程为．

由得．   ①

因为直线与椭圆相切，所以.

整理，得.

解得．

所以直线方程为．

将代入①式，可以解得点横坐标为1，故切点坐标为．……9分

（Ⅲ）若存在直线满足条件，设直线的方程为，代入椭圆的方程得．

因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，

所以．

所以．

又，，

因为，即，

所以．

即 ，

所以，解得．

因为为不同的两点，所以.

于是存在直线满足条件，其方程为．      …………………………13分