Question

直线l：y=ax+1与双曲线3x²-y²=1有两个不同的交点，
（1）求a的取值范围；
（2）设交点为A，B，是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，若存在就求出直线l的方程，若不存在则说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）联立方程组

3x2-y2=1 y=ax+1

，得（3-a）²x²-2ax-2=0，利用根的判别式能求出a的取值范围．
（2）设交点坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由x1+x2=

2a

3-a2

，x1x2=

-2

3-a2

，由题意得x₁x₂+y₁y₂=0，由此能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）联立方程组

3x2-y2=1 y=ax+1

，消去y，得：
（3-a）²x²-2ax-2=0，…（2分）
由题意方程有两个实数根，
则

3-a2≠0 △=(-2a)2-4(3-a2)×(-2)＞0

，…（3分）
解得-

6

＜a＜

6

，且a≠±

3

，
∴a的取值范围是（-

6

，-

3

）∪（-

3

，

3

）∪（

3

，

6

）．…（5分）
（2）设交点坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知，x1+x2=

2a

3-a2

，x1x2=

-2

3-a2

，…（6分）
由题意可得，OA⊥OB（O是坐标原点），
则有x₁x₂+y₁y₂=0，…（7分）
而y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)+1…（8分）
∴（a²+1）x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=0
于是得(a2+1)

-2

3-a2

+a•

2a

3-a2

+1=0
解得a=±1，且满足（1）的条件，…（10分）
所以存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，
直线l的方程为y=x+1或y=-x+1．…（12分）

点评：本题考查参数的取值范围的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．