Question

已知函数F（x）=（x²-ax+1）e^x，直线l：y=2x+b，其中a，b∈R．
（1）若曲线y=F（x）在点（0，F（0））处的切线为l，求a，b的值；
（2）求函数F（x）的单调递增区间；
（3）若函数F（x）在区间（0，2）上不单调，求a得取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由F′（0）=1-a=2，F（0）=1=b．
（2）令F′（x）≥0，则x²+（2-a）x+1-a≥0，化为（x+1）[x+（1-a）]≥0，对a分类讨论即可得出．
（3）由于函数F（x）在区间（0，2）上不单调，可得F′（x）=0在区间（0，2）上有解．可得a=x+1．
即可解出．

解答： 解：（1）F′（x）=（x²+（2-a）x+1-a）e^x，∴F′（0）=1-a=2，解得a=-1．
F（0）=1=b，∴a=-1，b=1．
（2）令F′（x）≥0，则x²+（2-a）x+1-a≥0，化为（x+1）[x+（1-a）]≥0，
当当a=0时，化为（x+1）²≥0，此时函数F（x）在R上单调递增；
当a＜0时，-1＞a-1，解得x≥-1或x≤a-1，此时函数F（x）单调递增区间为（-∞，a-1]，[-1，+∞）；
当a＞0时，-1＜a-1，解得x≤-1或x≥a-1，此时函数F（x）单调递增区间为（-∞，-1]，[a-1，+∞）；
（3）∵函数F（x）在区间（0，2）上不单调，
∴F′（x）=0在区间（0，2）上有解．
∴x²+（2-a）x+1-a=0，
化为a=x+1．
∴1＜a＜3．
∴a得取值范围是（1，3）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、利用导数的几何意义研究切线，考查了推理能力与计算能力，属于难题．