Question

【题目】已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过A，B作准线的垂线交准线与P，Q两点．R是PQ的中点．

（1）证明：以PQ为直径的圆恒过定点F．

（2）证明：AR∥FQ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）求得抛物线的焦点F，设直线l的方程为x=my+，联立抛物线方程，设A（，y1），B（，y2），运用韦达定理，求得抛物线的准线方程，可得P，Q，R的坐标，

求得，，由向量垂直的条件，即可得证；

（2）设AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，运用直线的斜率公式和两直线平行的条件，以及韦达定理，即可得证．

证明：（1）抛物线C：y2=2x的焦点F（，0），设直线l的方程为x=my+，

联立抛物线方程可得y2-2my-1=0，

设A（，y1），B（，y2），则y1+y2=2m，y1y2=-1，

抛物线的准线方程为x=-，可得P（-，y1），Q（-，y2），R（-，），

则=（1，-y1），=（1，-y2），可得=1+y1y2=1-1=0，

即PF⊥QF，以PQ为直径的圆恒过定点F；

（2）设AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，

则k2==-y2，

k1=====-y2，

即k1=k2，

则AR∥FQ．