Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点(4，-

10

)．
（1）求双曲线方程；
（2）设A点坐标为（0，2），求双曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线的渐近线方程，假设双曲线方程，代入点的坐标，即可得到双曲线方程；
（2）表示出|PA|，利用二次函数的配方法，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意，设双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0）------------------（2分）
将点(4，-

10

)代入双曲线方程，得42-(-

10

)2=λ，即λ=6----------------------（5分）
所以，所求的双曲线方程为x²-y²=6----------------------（7分）
（2）设双曲线上任意一点P（x₁，y₁），则x12-y22=6
从而|PA|=

x 2 1 +(y1-2)2

=

6+ y 2 1 + y 2 1 -4y1+4

=

2 y 2 1 -4y1+10

=

2(y1-1)2+8

--------------（10分）
当y₁=1时，|PA|有最小值2

2

所以当P的坐标为(±

7

，1)时，|PA|有最小值2

2

．----------------------（14分）

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查两点间的距离公式，解题的关键是待定系数法，属于中档题．