Question

19．对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；
（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；
（3）若f（x）为理想函数，假设存在x₀∈[0，1]满足f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析 （1）①要判断函数g（x）=2^x-1，（x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）=2^x-1，是否满足理想函数的三个条件即可；
（2）先研究函数f（x）的单调性，从而得出此函数的最值．得到当x=0时，f（x）取得最小值2，当x=1时，f（x）取得最大值3即可；
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x₀）=x₀．，根据f[f（x₀）]=x₀，则f（x₀）=x₀．

解答 解：（1）①显然f（x）=2^x-1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
则有f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=2^x₁+x₂-1-[（2^x₁-1）+（2^x₂-1）]=（2^x₂-1）（2^x₁-1）≥0
故f（x）=2^x-1满足条件①②③，所以f（x）=2^x-1为理想函数，
（2）设x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，则x₂-x₁∈（0，1]
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2
∴f（x₂）-f（x₁）≥f （x₂-x₁）-2≥0，
∴f（x₁）≤f（x₂），则当0≤x≤1时，f（0）≤f（x）≤f（1），
在③中，令x₁=x₂=0，得f（0）≤2，由②得f（0）≥2，
∴f（0）=2当x=1时，f（1）=3，
∴当x=0时，f（x）取得最小值2，
当x=1时，f（x）取得最大值3，
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x₀）＞x₀，则f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若：f（x₀）＜x₀，则f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故f（x₀）=x₀．

点评 赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，函数的新定义则转化为函数性质问题，本题则结合指数函数的性质，探讨函数的函数值域，指数函数的单调性的应用等知识点．