Question

生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标	[70，76）	[76，82）	[82，88）	[88，94）	[94，100]
元件A	8	12	40	32	8
元件B	7	18	40	29	6

（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）查出正品数，利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（Ⅱ）（i）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次，利用相互独立事件的概率计算公式及数学期望的定义即可得出；
（ii）先求出生产5件元件B所获得的利润不少于140元的正品数，再利用二项分布列的计算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为

40+32+8

100

=

4

5

．              
元件B为正品的概率约为

40+29+6

100

=

3

4

．                
（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．
∴随机变量X的所有取值为90，45，30，-15．           
∵P（X=90）=

4

5

×

3

4

=

3

5

；P（X=45）=(1-

4

5

)×

3

4

=

3

20

；P（X=30）=

4

5

×(1-

3

4

)=

1

5

；
P（X=-15）=(1-

4

5

)×(1-

3

4

)=

1

20

．
∴随机变量X的分布列为：
EX=90×

3

5

+45×

3

20

+30×

1

5

+(-15)×

1

20

．           
（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件．
依题意得 50n-10（5-n）≥140，解得 n≥

19

6

．
所以 n=4或n=5．                                   
设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，
则P（A）=

C

4 5

(

3

4

)4×

1

4

+(

3

4

)5=

81

128

．

点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望的定义、二项分布列的计算公式是解题的关键．