Question

已知函数f（x）满足f（x）=4x²+2x+1．
（1）设g（x）=f（x-1）-2x，求g（x）在[-2，5]上的值域；
（2）设h（x）=f（x）-mx，在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知写出g（x）的解析式，判断所给区间上的单调性再求最值即可得到值域；
（2）写出h（x）的解析式，数形结合求解m的取值．

解答：解：（1）因为f（x）=4x²+2x+1，
所以g（x）=f（x-1）-2x=4（x-1）²+2（x-1）+1-2x=4x²-8x+3，
因为g（x）是开口方向向上、对称轴为x=1的二次函数，
所以g（x）在[-2，1]上单调递减，在[1，5]上单调递增，
所以其最小值为g（1）=-1，最大值为g（5）=63，
所以函数g（x）在[-2，5]上的值域为[-1，63]．
（2）由题意可得：h（x）=f（x）-mx=4x²+2x+1-mx=4x²+（2-m）x+1，
所以h（x）是开口方向向上、对称轴为x=-

2-m

8

=

m-2

8

的二次函数，
因为h（x）在[2，4]上是单调函数，所以

m-2

8

≤2或

m-2

8

≥4，即m≤18或m≥34，
所以m的取值范围是（-∞，18]∪[34，+∞）．

点评：本题考察二次函数的单调性、值域，解答时要注意数形结合，属基础题．