Question

如图，椭圆E：的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=，过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8。

（1）求椭圆E的方程。
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8
∴4a=8，
∴a=2
∵e= ，
∴c=1
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆E的方程为 。
（2）由，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x₀，y₀）
∴m≠0，△=0，
∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0
∴4k²-m²+3=0①
此时x₀==，y₀=，
即P（，）
由得Q（4，4k+m）
取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），
以PQ为直径的圆为（x-2）²+（y-）²=4，交x轴于点M₁（1，0）或M₂（3，0）
取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），
以PQ为直径的圆为（x-）²+（y-）²=，交x轴于点M₃（1，0）或M₄（4，0）
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），
证明如下∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（1，0）。