Question

【题目】如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC=2百米，CD=1百米，∠BCD=120°，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将绿地分为面积之比为1：3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC=x百米，EF=y百米．

（1）当点F与点D重合时，试确定点E的位置；
（2）试求x的值，使路EF的长度y最短．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵

当点F与点D重合时，由已知 ，

又∵ ，E是BC的中点

（2）解：①当点F在CD上，即1≤x≤2时，利用面积关系可得 ，

再由余弦定理可得 ；当且仅当x=1时取等号

②当点F在DA上时，即0≤x＜1时，利用面积关系可得DF=1﹣x，

（ⅰ）当CE＜DF时，过E作EG∥CD交DA于G，在△EGF中，EG=1，GF=1﹣2x，∠EGF=60°，

利用余弦定理得

（ⅱ）同理当CE≥DF，过E作EG∥CD交DA于G，在△EGF中，EG=1，GF=2x﹣1，∠EGF=120°，

利用余弦定理得

由（ⅰ）、（ⅱ）可得 ，0≤x＜1

∴ = ，

∵0≤x＜1，∴ ，当且仅当x= 时取等号，

由①②可知当x= 时，路EF的长度最短为

【解析】（1）当点F与点D重合时， ，即 ，从而确定点E的位置；（2）分类讨论，确定y关于x的函数关系式，利用配方法求最值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)．